Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:
N
= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
A construção dos Números Naturais
1. Todo número natural dado tem um sucessor (número
que vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
(a) O sucessor de m é m+1.
(b) O sucessor de 0 é 1.
(c) O sucessor de 1 é 2.
(d) O sucessor de 19 é 20.
2. Se um número natural é sucessor de outro,
então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.
1. Vários números formam uma coleção de números
naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é
sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
2. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem
um antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
(a) O antecessor do número m é m-1.
(b) O antecessor de 2 é 1.
(c) O antecessor de 56 é 55.
(d) O antecessor de 10 é 9.
Conjuntos de números inteiros
Definimos
o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números
naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é
denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito
por:
Z
= {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:
Z*
= {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
Z+
= {0, 1, 2, 3, 4,...}
Z-
= {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Reta Numerada
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma
reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar,
tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números
inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros
obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com
uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos
permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números
inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem e simetria no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua
direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está
imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
(a) 3 é
sucessor de 2
(b) 2 é
antecessor de 3
(c) -5 é antecessor de -4
(d) -4 é sucessor de -5
(e) 0 é
antecessor de 1
(f) 1 é
sucessor de 0
(g) -1 é sucessor de -2
(h) -2 é antecessor de -1
Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado
simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que
tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z
que é 0.
 |
|||
 |
|||
Conjuntos de números racionais
Um número racional é o que pode ser escrito na forma
m
n
|
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é,
n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a
divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente
usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da
razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros,
razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q.
O papel das frações e números Decimais
Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus
fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e
números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são
usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.
Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a
compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo,
podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de
compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem
(1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras
situações utilizam de frações e números decimais.
Observação: Para dividir um número X
por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a notação X/Y, por ser
mais simples.
Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas
não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir
e representar medidas.
Os egípcios usavam apenas frações que possuiam o número 1 dividido por
um número inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frações eram
denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas.
Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em
termos de frações egípcias, como: 5/6=1/2+1/3.
Os babilônios usavam em geral frações com denominador 60. É provável que
o uso do número 60 pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do
que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez,
usavam constantemente frações com denominador 12. Provavelmente os romanos
usavam o número 12 por ser um número que embora pequeno, possui um número
expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações
foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do
século XVI.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a
fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5.
Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método
para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no
qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do
numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A
notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande
matemático escocês.
1437
|
1
|
2
|
3
|
||
=
|
1,
|
4
|
3
|
7
|
|
1000
|
A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações
decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes
no denominador.
437
100
|
=
4,37
|
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para
cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais
simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a
criação do sistema métrico decimal.
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma
potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.
Exemplos de frações decimais, são:
1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é,
um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma
vírgula.
A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:
127
100
|
=
|
1,27
|
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta
notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127
100
|
=
|
100+27
100
|
=
|
100
100
|
+
|
27
100
|
=
1+0,27 = 1,27
|
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte
inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor
do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração. Leitura de
números decimais
Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização
da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.
Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:
Centenas
|
Dezenas
|
Unidades
|
,
|
Décimos
|
Centésimos
|
Milésimos
|
Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena
|
3 dezenas
|
0 unidades
|
,
|
8
décimos
|
2
centésimos
|
4
milésimos
|
Exemplos:
0,6
|
Seis décimos
|
0,37
|
Trinta e sete centésimos
|
0,189
|
Cento e oitenta e nove milésimos
|
3,7
|
Três inteiros e sete décimos
|
13,45
|
Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos
|
130,824
|
Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e
quatro milésimos
|
Transformando frações decimais em números decimais
Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida
"um décimo". Notamos que a vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
parte
inteira
|
parte
fracionária
|
|
0
|
,
|
1
|
Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser
escrita como 2,31, que se lê da seguinte maneira: "dois inteiros e trinta
e um centésimos". Novamente observamos que a vírgula separa a parte
inteira da parte fracionária:
parte
inteira
|
parte
fracionária
|
|
2
|
,
|
31
|
Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo
com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o
número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador
pelo denominador. Por exemplo:
(a) 130/100
= 1,30
(b) 987/1000 = 0,987
(c) 5/1000
= 0,005
Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal.
Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como
denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas
decimais do número dado. Como exemplo, temos:
(a) 0,5
= 5/10
(b) 0,05
= 5/100
(c) 2,41
= 241/100
(d) 7,345 = 7345/1000
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