Muitos
avanços contribuíram para o dinamismo da Matemática, complexos cálculos são
solucionados, em segundos com a ajuda de computadores e softwares matemáticos
desenvolvidos pelo homem. Meros objetos como a calculadora estão presentes no
cotidiano das pessoas, auxiliando as operações básicas: adição, subtração,
multiplicação e divisão, além de cálculos muitos mais complexos.
Grandes foram as descobertas com objetivo de acelerar os processos e estudos
matemáticos. Segundo Gerhardt (2007) apud Mendes (2010) ,o ábaco é "a primeira
máquina de calcular inventada pelo homem, sendo seu inventor desconhecido. Existem
relatos que os babilônios utilizavam um ábaco construído em pedra lisa por
volta de 2400 a.C., os indícios do uso do ábaco na Índia, Mesopotâmia, Grécia e
Egito são contundentes, outros ainda dizem que o instrumento provavelmente
surgiu na China. O seu surgimento está ligado ao desenvolvimento dos conceitos
de contagem.
Na
Idade Média o ábaco era usado pelos romanos para a realização de cálculos. A
utilização do instrumento por parte dos chineses e japoneses foi de grande
importância para o seu desenvolvimento e aperfeiçoamento.Uma variedade de ábacos
foram desenvolvidos. O ábaco foi disseminando por toda a sociedade, com a mesma
função, o que mudava era somente sua nomenclatura. Ainda hoje, depois de 3 mil anos
da sua invenção, comerciantes de algumas regiões da Ásia utilizam ainda esse
instrumento.Observem nas figuras abaixo várias tipos de ábacos:
ÁBACO
BABILÓNIO
Os
babilónios podem ter utilizado o ábaco para operações de adição e subtracção.
No entanto, este dispositivo primitivo provou ser difícil para a utilização em
cálculos mais complexos. Algumas pessoas conhecem um caracter do alfabeto
cuneiforme babilónio que pode ter sido derivado de uma representação do ábaco. Por isso esse ábaco é muito
importante.
ÁBACO
EGÍPCIO
O
uso do ábaco no antigo Egito é
mencionado pelo historiador grego Crabertotous,
que escreve sobre a maneira do uso de discos (ábacos) pelos egípcios, que era
oposta na direção quando comparada com o método grego. Arqueologistas
encontraram discos antigos de vários tamanhos que se pensam terem sido usados
como material de cálculo. No entanto, pinturas de parede não foram descobertas,
espalhando algumas dúvidas sobre a intenção de uso deste instrumento.
ÁBACO
GREGO
Uma
tábua encontrada na ilha grega de Salamina em 1846 data
de 300 a.C., fazendo deste o mais velho ábaco
descoberto até agora. É um ábaco de mármore de 149 cm de comprimento,
75 cm de largura e de 4,5 cm de espessura, no qual existem 5 grupos
de marcações. No centro da tábua existe um conjunto de 5 linhas paralelas
igualmente divididas por uma linha vertical, tampada por um semicírculo na intersecção
da linha horizontal mais ao canto e a linha vertical única. Debaixo destas
linhas, existe um espaço largo com uma rachadura horizontal a dividi-los.
Abaixo desta rachadura, existe outro grupo de onze linhas paralelas, divididas
em duas secções por uma linha perpendicular a elas, mas com o semicírculo no
topo da intersecção; a terceira, sexta e nona linhas estão marcadas com uma
cruz onde se intersectam com a linha vertical.
ÁBACO
ROMANO
Ábaco
romano reconstruído.
O
método normal de cálculo na Roma antiga, assim como na Grécia antiga, era mover
bolas de contagem numa tábua própria para o efeito. As bolas de contagem
originais denominavam-se calculi. Mais tarde, e na Europa medieval,
os jetons começaram a ser manufacturados. Linhas marcadas indicavam
unidades, meias dezenas, dezenas, etc., como na numeração romana.
O sistema de contagem contrária continuou até à queda de Roma, assim
como na Idade Média e até ao século XIX, embora já com uma utilização mais
limitada.
Em
adição às mais utilizadas bolas de contagem frouxas, vários espécimens de um
ábaco romano foram encontrados, mostrados aqui em reconstrução. Tem oito longos
sulcos contendo até 5 bolas em cada e 8 sulcos menores tendo tanto uma como
nenhuma bola.
Nos
sulcos menores, o sulco marcado I marca unidades, o X dezenas e assim
sucessivamente até aos milhões. As bolas nos sulcos menores marcam os cincos -
cinco unidades, cinco dezenas, etc. - essencialmente baseado na numeração romana.
As duas últimas colunas de sulcos serviam para marcar as subdivisões da unidade
monetária. Temos de ter em conta que a unidade monetária se subdividia em 12
partes, o que implica que o sulco longo marcado com o sinal 0(representando os
múltiplos da onça ou duodécimos da unidade monetária) comporte um máximo de 5
botões, valendo cada uma 1 onça, e que o botão superior valha 6 onças. Os
sulcos mais pequenos à direita são fracções da onça romana sendo
respectivamente, de cima para baixo, ½ onça, ¼ onça e ⅓ onça.
ÁBACO
RUSSO
O ábaco russo,
inventado no século XVII, estava em uso em todas as lojas e mercados de toda a
antiga União Soviética, e o uso do ábaco era ensinado
em todas as escolas até aos anos 90.
Ainda hoje é utilizado mais também se faz uso de novas tecnologias.
Ele opera de forma ligeiramente diferente dos ábacos
orientais. As contas movem-se da esquerda para a direita e o seu desenho é
baseado na fisionomia das mãos humanas.
ÁBACO
CHINÊS
Suanpan
A menção mais antiga a um suanpan (ábaco
chinês) é encontrada num livro do século I da Dinastia Han
Oriental, o Notas Suplementares na Arte das Figurasescrito por Xu
Yue. No entanto, o aspecto exacto deste suanpan é desconhecido.
Habitualmente, um suanpan tem cerca de
20 cm de altura e vem em variadas larguras, dependendo do fabricante. Tem
habitualmente mais de sete hastes. Existem duas bolas em cada haste na parte de
cima e cinco na parte de baixo, para
números decimais e hexadecimais. Ábacos mais modernos tem uma
bola na parte de cima e quatro na parte de baixo. As bolas são habitualmente
redondas e feitas em madeira. As bolas são contadas por serem movidas para cima
ou para baixo. Se as mover para o alto, conta-lhes o valor; se não, não lhes
conta o valor. O suanpan pode voltar à posição inicial
instantaneamente por um pequeno agitar ao longo do eixo horizontal para afastar
todas as peças do centro.
Os suanpans podem ser utilizados para
outras funções que não contar. Ao contrário do simples ábaco utilizado nas
escolas, muitas técnicas eficientes para osuanpan foram feitas para
calcular operações que utilizam a multiplicação, a divisão,
a adição,
a subtracção, a raiz quadrada e
a raiz cúbica a uma alta velocidade.
A similaridade do ábaco romano com
o suanpan sugere que um pode ter inspirado o outro, pois existem
evidências de relações comerciais entre o Império Romano e a China. No entanto,
nenhuma ligação directa é passível de ser demonstrada, e a similaridade dos
ábacos pode bem ser concidência, ambos derivando da contagem de cinco dedos por
mão. Onde o modelo romano tem 4 mais 1 bolas por espaço decimal,
o suanpan padrão tem 5 mais 2, podendo ser utilizado com números
hexadecimais, ao contrário do romano. Em vez de funcionar em cordas como os
modelos chinês e japonês, o ábaco romano funciona em sulcos, provavelmente
fazendo os cálculos mais difíceis.
Outra fonte provável do suanpan são
as pirâmides numéricas chinesas, que operavam com o sistema decimal
mas não incluiam o conceito de zero. O zero foi provavelmente introduzido aos
chineses naDinastia Tang (618-907), quando as viagens no Oceano
Índico e no Médio Oriente teriam dado contacto directo com
a Índia e o Islão, permitindo-lhes saber o conceito de zero e
do ponto decimal de mercantes e matemáticos indianos e islâmicos.
O suanpan migrou da China para
a Coreia em cerca do ano 1400. Os coreanos chamam-lhe jupan (주판), supan (수판) or jusan (주산).
ÁBACO JAPONÊS
Soroban japonês.
Um soroban (算盤, そろばん, lit. tábua de contar) é uma
versão modificada pelos japoneses do suanpan. É planeado do suanpan,
importado para o Japão antes do século XVI. No
entanto, a idade de transmissão exacta e o meio são incertos porque não existem
registos específicos. Como
o suanpan, o soroban ainda hoje é utilizado no Japão, apesar da
proliferação das calculadoras de bolso, mais baratas.
A
Coreia tem também o seu próprio, o supan (수판), que é basicamente
o soroban antes de tomar a sua atual forma nos anos 30.
Osoroban moderno também tem este nome.
ÁBACO
INDIANO
Ele
é conhecido também como ábaco de pinos, no século V já gravavam os resultados
do ábaco.
Nesse
ábaco, cada pino equivale a uma posição no nosso sistema de numeração, sendo
que o primeiro, da direita para a esquerda representa a unidade, e os próximos
representam à dezena, a centena, a unidade de milhar e assim por diante.
ÁBACOS ESCOLARES
Em
todo o mundo, os ábacos têm sido utilizados no âmbito escolar como uma
ajuda ao ensino do sistema numérico e da aritmética.
Os alunos podem aprender a usar o ábaco para contar e registrar quantidades
Baseado
no nosso sistema de numeração com base 10 cada bola e cada fio têm exatamente o
mesmo valor e, utilizado desta maneira, pode ser utilizado para representar
números acima de 100.
No
ábaco de pinos, agrupam-se peças em um pino a direita no qual representam as
unidades, ao atingirem 10 peças, devemos retirá-las e coloca-las no próximo
pino imediatamente à esquerda que representará uma dezena, e assim
sucessivamente, representando a ordem decimal unidade, dezena, centena e milhar.
COMO UTILIZAR OS ÁBACOS ESCOLARES
Vamos nos referir aos mais simples deles. Numa moldura de madeira
são fixados alguns fios de arame. Dez bolinhas correm em cada fio. As do 1º fio
representam as unidades; as do 2º fio representam as dezenas; as do 3º fio, as
centenas e assim por diante. As operações são efetuadas
de acordo com o sistema posicional, o ábaco não resolve os cálculos, ele
simplesmente contribui na memorização das casas posicionais enquanto os
cálculos são feitos mentalmente.
COMO
UTILIZAR O ÁBACO
Vamos nos
imaginar contando as crianças que entram na escola, passando uma a uma pelo
portão. Inicialmente todas as bolinhas devem estar do lado esquerdo do ábaco.
1. Para
cada criança que passa, deslocamos uma bolinha do 1º fio para a direita.
2. Quando
as dez bolinhas do 1º fio estão à direita, deslocamos uma bolinha do 2º fio
para a direita e voltamos com as dez bolinhas do 1º fio para a esquerda.
3. Assim,
prosseguimos a contagem.
4. Quando
as dez bolinhas do 2º fio estiverem à direita, deslocaremos uma bolinha do 3º
fio para a direita e as bolinhas do 2º fio voltarão para a esquerda.
Suponhamos
que, ao terminar a contagem, esta seja à disposição das bolinhas no ábaco:
Podemos
registrá-la deste modo:
centenas
|
dezenas
|
unidades
|
3
|
6
|
5
|
O número total de alunos é:
3 bolinhas que valem 100 cada uma
|
+
|
6 bolinas que valem 10 cada uma
|
+
|
5 bolinhas que valem 1 cada uma
|
ou seja:
3 x 100
|
+
|
6 x 10
|
+
|
5 x 1
|
=
|
365
|
300
|
+
|
60
|
+
|
5
|
=
|
365
|
O ÁBACO E O ZERO
Observe
as quantidades indicadas em cada um dos ábacos seguintes:
No nosso
sistema de numeração elas são registradas assim: 34 e 304. Quando escrevemos
304, o símbolo "0" indica que na 2ª fileira do ábaco não há bolinhas
do lado direito. Ao invés do símbolo "0" poderíamos usar outro
qualquer como, por exemplo, um espaço em branco: 3 4. Isto não importa;
estaríamos, do mesmo modo, usando um símbolo para o nada.
O ÁBACO NA ESCOLA
O uso do
material facilita a compreensão de como construir, compor e decompor o número,
a partir do valor posicional dos algarismos. Assim, "trabalhar com o
ábaco permite construir a noção real do número inteiro, na passagem da unidade
para a dezena, da dezena para a centena, da centena para a unidade de milhar,
da unidade de milhar para a dezena de milhar e assim por diante. Golbert,
(1999) apud Mendes (2010) constata que o trabalho com materiais concretos torna
o processo de construção do sistema numérico mais acessível às crianças, pelas
ações que elas realizam sobre eles - fazer, desfazer grupos, trocar - do que
pelas representações dos elementos, permitindo que o educando perceba o
sistema de numeração e suas técnicas operatórias, tornando-se assim uma
ferramenta imprescindível no ensino da contagem e das operações básicas na
educação fundamental.
Seu uso em
sala de aula, com a mediação do professor; propondo as atividades e
incentivando os questionamentos dos estudantes, possibilitará a consolidação do
conhecimento do Sistema de Numeração Decimal.
